小澤徹 (おざわとおる)

II. 研究内容：　数理物理学　Mathematical Physics 自然現象の本質を説明する学問である物理学には、観測・実験・ものつくり・モデル化・理論の体系化・新たな現象の予言・シミュレーションなど、 様々なアプローチが存在し、それらは互いに密接に関連しています。数理物理学とは、物理現象を支配する物理法則を貫く数学的構造の解明を通じて、 理論物理学の数学的基礎の構築および新しい数学領域・物理学領域の開拓を目指す学問です。 小澤研究室で行われている研究を紹介します。

古典場の理論の数学的基礎

古典場の理論 Theory of Classical Fields とは、物理現象の本質を波動の場として記述する理論であり、複素スカラー場やゲージ場が代表例です。ミクロなレベルで対応する理論は量子場の理論ですが、その本質的な理解には古典場の理論としての基礎が不可欠です。
相対論的な場のモデルとして非線型ディラック方程式、非線型クライン・ゴルドン方程式、マクスウェル・ディラック系、マクスウェル・クライン・ゴルドン系、また半相対論的な場のモデルとして半相対論的非線型シュレディンガー方程式、半相対論的ハートリー方程式、非相対論的な場のモデルとして非線型シュレディンガー方程式、非線型ハートリー方程式を解析しています。
特に、初期値問題の可解性、一意性、適切性と云った基礎理論や、爆発解、漸近自由解、修正漸近自由解、定在波、孤立波、基底状態、周期解等の特定のクラスの解の構成や解の解析学的性質・幾何学的性質を研究しています。
量子力学の数学的基礎

ヒルベルト空間上の自己共軛作用素のスペクトル理論や正準交換関係、シュレディンガー作用素に対する摂動理論や散乱理論、波動函数の平滑化効果や零点集合の解析を研究対象としています。
量子力学の理論体系を非相対論的極限として捉えたり、流体力学的枠組から捉える研究にも取組んでいます。
電磁流体力学・プラズマ物理の数学的基礎

電磁流体の基礎理論やプラズマ中のアルベン波、ラングミュア波の伝播を研究対象としています。電磁流体力学ではラグランジュ平均化モデルとその緩和パラメタ消滅極限、部分粘性項や質量拡散の影響について研究しています。プラズマ物理では微分型相互作用をもつ非線型シュレディンガー方程式やザハロフ系に取組んでいます。
流体力学の数学的基礎

流体力学の基礎方程式であるナビエ・ストークス方程式の解の接続条件を渦度や圧力勾配などの物理量で記述する研究を行っています。分散性の波の伝播についてはベンジャミン・オノ方程式やデイビー・ステュワートソン系について研究しています。
非線型光学の数学的基礎

光ファイバー中を伝播する超短波パルスの解析を非線型シュレディンガー方程式をモデルとして研究しています。修正漸近自由波に現れる位相変調と臨界自己相互作用との関係を長距離散乱理論の枠組で研究しています。

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小澤徹 (おざわ とおる)

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